Почему-то в середине лета решал дать ответ на этот вопрос.
На самом деле пространства размерности выше 3 используется очень часто и очень много где, просто понятие пространства в математики не сводятся только к бытовому понятию пространства (извиняюсь за тавтологию, но надеюсь понятно). Обычно пытаются по аналогии продолжить: двухмерное это длина и ширина, трёхмерное - длина, ширина, высота, значит и дальше сохраняется эта схема. Собственно эти рассуждения и приводят в тупик.
Теперь примеры, где используются пространства размерности выше 3:
- Теория относительности и М-теория
В специальной теории относительности пространство-время представляется в виде 4-х мерного пространства Минковского, в котором три компоненты пространственные и одна временная. Это пространство можно назвать "плоским" - оно однородно и изотропно (временная компонента только изотропна). В общей теории относительности используется более сложное пространство - пространство Римана. Так же 4-х мерное.Оно уже не является плоским и искривлено как только можно, физически искривление в пространство вносит масса.
В M-теории используют 11 или 12-ти мерные пространства, точно не помню. Собственно это всё, что я знаю об этом.
Это уже более привычная вещь, которую можно представить. Для примера рассмотрим человека. У человека есть лицо, спина, право, лево, верх и низ. И так же пусть он находится в помещении, в котором ввели некоторую декартову прямоугольную систему координат. Чтобы задать положение человека в этом помещении не достаточно называть его координаты x, y, z, поскольку человек "ориантирован" надо задать ещё углы поворота вокруг этих осей:
φ, ψ, θ (обозначения могут разнится, но смысл понятен). Вот уже получили 6-ти мерное пространство, если хоти описать его перемещение во времени, то получаем уже 7-ми мерное.
Обобщенные координаты могут представлять собой любые характеристики описываемого объекта, от цвета до квантового состояния.
- Функциональный анализ и численные методы
Фактически функциональный анализ и занимается изучением многомерных пространств. Функция с такого представления объект многомерный: её можно раскладывать в ряд по базису (ряды Фурье, Лорана и Тейлора), можно менять базис и так далее. Это нужно для моделирования различных реальных процессов и решения прикладных задач. Однако решать задачи "на бумаге" не всегда удобно. Например систему из миллиона уравнений (а такие встречаются) просто так не решить. И поэтому пользуются численными методами: составляют программу на компьютере, который все эти вычисления проводит. Однако вот беда - память компьютера конечна и он не может хранить полностью вещественные числа и ряды. Вещественные числа хранятся с определённой точностью,а с рядами поступают следующим образом: выбирают проекцию функции на некоторое конечное n-мерное подпространство и работают с ними. Проще говоря - бегут какие-то n слагаемых ряда, а про остальные забывают.
Надеюсь приведенные примеры дали ответ на вопрос, зачем такая абстракция, как n-мерное пространство и где она используется. Список далеко не полный и он составлен только для того, чтобы показать, что пространства высоких размерностей не являются ненужной вещью, как это может показаться с первого взгляда.
